浙江农民的诗与式

农民王旭龙

刚刚又写了一个公式
两数和的3次幂值与两数3次幂值之和的关系
【大数+小数】³=【大数³+小数³】+大数²×小数×3+小数²×大数×3
【甲+乙】³=【甲³+乙³】+甲²×乙×3+乙²×甲×3
【m+n】³=【m³+n³】+m²×n×3+n²×m×3
【a+b】³=【a³+b³】+a²×b×3+b²×a×3

代入数字验算：a=8   b=5
【8+5】³=【8³+5³】+8²×5×3+5²×8×3
13³=【8³+5³】+8²×5×3+5²×8×3
2197=【512+125】+64×5×3+25×8×3
2197=637+960+600
2197=637+1560
=2197


【a+b】³  - 【 a³+b³】的差=【a²×b】的3倍+【b²×a】的3倍
[a+b]³  -  [ a³+b³]=  [ a²×b]×3  +   [b²×a]×3

农民王旭龙

早上突然想起，小学一二年级时，有个同桌同学叫【王方方】，难道是宿命，老来要跟平方，立方问题纠结。

【武汉市中考题】有求：a³-b³的值的问题。
早上出去骑车，想好了，笔却干了，写不下来，赶紧回家整理公式。
之前已经写过：相邻两个整数，相邻两个奇数，相邻两个偶数的3次幂值之差的公式。由于奇数，偶数的立方体思考是以六面包围来进行的，不能用。只能从相邻两个整数的【三面兜+补角】的方式进行考虑。
写出：a×b×[a-b]×3+[a-b]³
设a=7，b=3。7³=343，3³=27，求343-27=316，
a×b×[a-b]×3+[a-b]³
7×3×[7-3]×3+[7-3]³
21×4×3+4³
84×3+64
252+64
316

不论a，b两数悬殊多大。
设a=10 ，b=1。10³=1000，b³=1，10³-1³=999
a×b×[a-b]×3+[a-b]³
10×1×[10-1]×3+[10-1]³
10×9×3+9³
270+729=999

设a=2 ，b=1。a³=8，b³=1。8-1=7
a×b×[a-b]×3+[a-b]³
2×1×[2-1]×3+[2-1]³
6+1=7

a³- b³=
a×b×[a-b]×3+[a-b]³

农民王旭龙

大数²-小数²=  [大-小]×小×2+[大-小]²
大数=9，小数=3。9²=81，3²=9，81-9=72
9²-3²=[9-3]×3×2+[9-3]²
81-9=6×3×2+6²
72=36+36=72


a=21，b=4
21²-4²=[21-4]×4×2+[21-4]²
441-16=17×4×2+17²
425=136+289=425

a=32，b=14
32²-14²=[32-14]×14×2+[32-14]²
1024-196=18×14×2+18²
828=504+324=828

一个大数，减去一个小点的数的2次幂值=两数的差与小数相乘之积的二倍+两数差的2次幂值。
a²-b²=[a-b]×b×2+[a-b]²

适用于任意大小悬殊的两数2次幂值之差的求差公式。这也是普适公式。
a²-b²=[a-b]×a+[a-b]×b【这是另一种算法公式】
a=9,b=5
9²-5²=[9-5]×9+[9-5]×5
81-25=36+20
56=56

农民王旭龙

今天又回小区扫地了。偷空写了一个公式：
a²-b²=[a+b][a-b]
任意大小两数各自的2次幂值之差=两数和×两数差
这是从
6×6-5×5=36-25=11，得知的
6²-5²=[6+5][6-5]
36-25=[6+5]×[6-5]
11=11×1
开始时写成：
a²-b²=[a+b]
6²-5²=[6+5]
36-25=[6+5]
11=11
后来想，这只适用于两数之差为1的两数组合。要表达任意差值两数的2次幂值之差；肯定要写成：
a²-b²=[a+b][a-b]。
不论a，b的差有多大悬殊，a²-b²的差，都可以用这个代数式求得。
a²-b²=[a+b][a-b]
这是两数2次幂值差问题的通用普适公式。
验算
98²-51²=【98+51】×【98-51】
9604-2601=149×47
7003=7003

116²-37²=【116+37】×【116-37】
13456-1369=153×79
12087=12087

公式体现某些数与数之间的相互关系，是自然规律的表达。

农民王旭龙

【武汉市中考题】的题目：
已知甲+乙=9，甲²+乙²=61。求甲³-乙³的值。

现在，我去掉前面的已知条件，留下
甲²+乙²=61。求甲³-乙³的值。
只用a²+b²=61。去求a³-b³的值。
搞清楚a³-b³与a²+b²的关系。
61=36+25，√36=6，√25=5.
5与6差1，6-5=1.
6×6×6-5×5×5
=216-125
=91.
91=61+30
30=6×5.
于是我据此写出：
a³-b³=a²+b²+ab
216-125=36+25+30
91=91
我考虑到6，5两数之差仅为1。
那么要适应任意差的两数组合的普适公式为
a³-b³=[a²+b²+ab][a-b]
[a²+b²+ab]×[a-b]=a³-b³
[61+30]×[6-5]=216-125
91×1=91

验算a=12 ，  b=5
a³-b³=[a²+b²+ab][a-b]
12³-5³=[12²+5²+12×5]×[12-5]
1728-125=[144+25+60]×7
1603=229×7=1603

验算a=11，  b=5
a³-b³=[a²+b²+ab][a-b]
11³-5³=[11²+5²+11×5]×[11-5]
1331-125=[121+25+55]×6
1206=201×6=1206

在学习批评【武汉市中考题】的过程中，我发现了【大小两数3次幂值之差与大小两数2次幂值之和的关系】。

农民王旭龙

中午休息时。不到十分钟写了关于两数之和与两数平方和的关系式。
a二+b二=[a+b]+a[a-1]+b[b-1]
验算：a=2,b=1
2二+1二=[2+1]+2[2-1]+1[1-1]
4+1=3+2+1[0]
5=5

a=7,b=2
a二+b二=[a+b]+a[a-1]+b[b-1]
7二+2二=[7+2]+7[7-1]+2[2-1]
49+4=9+42+2
53=53

a=10,b=3
a二+b二=[a+b]+a[a-1]+b[b-1]
10二+3二=[10+3]+10[10-1]+3[3-1]
100+9=13+90+6
109=109

a=11  b=13
[11二+13二]  -[11+13] = 11[11-1]+13[13-1]
[121+169]-[11+13] = 11×10+13×12
290-24=110+156
266=266

中午休息时。不到十分钟写了关于两数之和与两数平方和的关系式。
a²+b²=[a+b]+a[a-1]+b[b-1]
验算：a=2,b=1
2²+1²=[2+1]+2[2-1]+1[1-1]
4+1=3+2+1[0]
5=5

a=7,b=2
a²+b²=[a+b]+a[a-1]+b[b-1]
7²+2²=[7+2]+7[7-1]+2[2-1]
49+4=9+42+2
53=53

a=10,b=3
a²+b²=[a+b]+a[a-1]+b[b-1]
10²+3²=[10+3]+10[10-1]+3[3-1]
100+9=13+90+6
109=109

a=11  b=13
[a²+b²]-[a+b]           =a[a-1]+b[b-1]
[11²+13²]  -[11+13] = 11[11-1]+13[13-1]
[121+169]-[11+13] = 11×10+13×12
290-24=110+156
266=266

农民王旭龙

离上班还早。多个数之和与多个数的2次幂值之和的关系
a²+b²+c²=[a+b+c]+a[a-1]+b[b-1]+c[c-1]
a²+b²+c²+d²=[a+b+c+d]+a[a-1]+b[b-1]+c[c-1]+d[d-1]
,,,,,,,,,,,,,,依次增加系数
两数3次幂值之和与两数和的关系
a³+b³：a+b   
a³+b³=【a²×[a-1]+b²×[b-1]】+a[a-1]+b[b-1]+[a+b]

a=3，b=7
a³+b³=【a²×[a-1]+b²×[b-1]】+a[a-1]+b[b-1]+[a+b]
3³+7³=【3²×[3-1]+7²×[7-1]】+3[3-1]+7[7-1]+[a+b]
27+343=[9×2+49×6]+3×2+7×6+[3+7]
370=[18+294]+6+42+10
370=312+48+10=370

开始没想到，还要加【a+b】，结果370=312+48=360。不对呀，仔细分析，原来还要+[a+b]。
因为是求：a³+b³：a+b。所以因式中一定要有[a+b]这项目。


这是起床后，想出的两个数字游戏步骤。

农民王旭龙

我发现的四数关系。下班进家门的那刻，突然想到应该按8，12分列。
1×1+8×8=4×4+7×7
1×1+18×18=10×10+15×15
1×1+28×28=16×16+23×23
1×1+38×38=22×22+31×31
1×1+48×48=28×28+39×39
1×1+58×58=34×34+47×47
1×1+68×68=40×40+55×55
1×1+78×78=46×46+63×63
1×1+88×88=52×52+71×71
1×1+98×98=58×58+79×79
1×1+108×108=64×64+87×87
1×1+118×118=70×70+95×95
1×1+128×128=76×76+103×103
1×1+138×138=82×82+111×111
1×1+148×148=88×88+119×119
1×1+158×158=94×94+127×127
1×1+168×168=100×100+135×135【可以看出进阶分别为10，6、8】
1×1+178×178=106×106+143×143
【168升178，100升106，135升143，可以一直往大数∞方向追寻，无底洞。】
，，，，，，，，

1×1+12×12=8×8+9×9
1×1+22×22=14×14+17×17
1×1+32×32=20×20+25×25
1×1+42×42=26×26+33×33
1×1+52×52=32×32+41×41
1×1+62×62=38×38+49×49
1×1+72×72=44×44+57×57
1×1+82×82=50×50+65×65
1×1+92×92=56×56+73×73
1×1+102×102=62×62+81×81
1×1+112×112=68×68+89×89
1×1+122×122=74×74+97×97
1×1+132×132=80×80+105×105
1×1+142×142=86×86+113×113
1×1+152×152=92×92+121×121
1×1+162×162=98×98+129×129【分列后，这组进阶也是：10、6、8。问题又简单了一步】
，，，，，，，，，，，
【神奇的数字关系，好像不可思议，却是规律所在】

农民王旭龙

百度题
a ，b为正整数。a+ab+b=25，求a+b的值。
我立马看出a+b=13，ab=12，a=1，b=12，或a=12，b=1。
老师写了a+ab+b+1=26，等十多个转换因式，给出a+b=13。但没有给出a，b的值。
a+b=13
13=1+12，2+11，3+10，4+9，5+8，6+7。
应该确定a，b的值。



a+b=13，1+12=13；12+1=13
ab=12，  1×12=12；12×i=12
13+12=25

12=12×i，13=12+1。

这也是1是素数，i 不是素数的证明。

a+ab+b+1=26。可以26÷2=13，25-13=12
a+ab+b=25
变形题
a ，b为正整数。a+ab+b=35，求a+b的值。

能用：a+ab+b+1=36。吗？
36÷2=18，35-18=17。
a+ab+b=35
a+b=18+17=35。
ab=？
后面没法走。

我是以a=2，b=11设置的
2+2×11+11=35=2+22+11=13+22=35

在a+b=13的基础上，问题可以变出的类型
a+ab+b=25【1，12】
a+ab+b=35【2，11】
a+ab+b=43【3，10】
a+ab+b=49【4，9】
a+ab+b=53【5，8】
a+ab+b=55【6，7】
其中a+b=13，和值不变，但a，b值的互补结构不同，因此ab的乘积亦各有不同。

a+ab+b=n类型可以很多【两数积+两数】，需要一种通解方法。
n为已知条件。
a+ab+b=5
【可以用a+ab+b+1】[5+1]÷2=3【3=a+b。a，b分别为1，2】

a+ab+b=11
【a，b分别为2，3。若用a+ab+b+1，[11+1]÷2=6，则为ab，而非a+b，a+b=5。可见还没找到妥当的办法】

a+ab+b=19
a+ab+b=23
a+ab+b=29
a+ab+b=41
a+ab+b=55
a+ab+b=71
，，，，，，，，
n为已知条件。

终于经过对a=8，b=11，a+ab+b=107进行思索，有了办法：很简单，就能解决任意不同两数的
a+ab+b=n类问题
老师的例题是：a+ab+b=25
a+ab+b+1=26老师在这一步后，还有很多步转换因式。其实有这一步就差不多够了。
26=2×13，我将2与13分别减1，为2-1=1，13-1=12，a+b=13.

我思考时，是以a=8，b=11，a+ab+b=107来进行的。
a+ab+b=107
a×[b+1]+b=107
8×12+11=96+11=107
b×[a+1]+a=107
11×9+8=99+8=107
上面因式中出现12，9。而12×9=108
108-1=107
12-1=11
9-1=8
a=8，b=11，8+8×11+11=107

107+1=108
108=9×12。9-1=8，12-1=11。

2+2×11+11=35
35+1=36
36÷4=9【以4，9代入验算，不符合已知条件下的组合】
36÷3=12【3-1=2，12-1=11】

经过对悬殊更大的数组验算：
17+17×31+31=575
575+1=576
18×32=576【用计算器算】

对应a+ab+b=n题类
[a+1]×[b+1]=[n+1]【我得出这样的结论】
[n+1]÷[b+1]=[a+1]
[n+1]÷[a+1]=[b+1]
知道这种关系后，a+ab+b=n【n为已知条件】的解决就是简单的一回事了。

求出a，b的值，很重要，可以进行代入验算。

在老师的a+ab+b=25，a+ab+b+1=26的启发下，我通过转换思路，给出a+ab+b=n的通用普适方法，使得a，b是任意不同数值的情况下，都能以简便方法求得a，b两数的值，而不仅仅只是[a+b]的混沌值。

农民王旭龙

昨夜晚，家人催促下匆忙下机，躺床上还想到，有一个念头歪了：
36÷4=9【以4，9代入验算，不符合已知条件下的组合】
36-1=35，4-1=3，9-1=8
a+ab+b=35，a+ab+b+1=36
a=3，b=8，仍然符合a+ab+b=35，
3+3×8+8=35
11+24=35
甚至36÷6=6，
36-1=35，6-1=5，6-1=5
5+5×5+5=35
10+25=35

我乱设的题目a+ab+b=35，竟然出现[a+b]=10，=11，=13
a=5，b=5，a+b=10
a=3，b=8，a+b=11
a=2，b=11，a+b=13
因为36=6×6，=4×9，=3×12。所以a+ab+b=35有三组结果。

当a+ab+b=n，而a+ab+b+1=n+1时，[n+1]可分解成的乘因式有几个，a+ab+b=n的解就有几组。
对应a+ab+b=n题类
[a+1]×[b+1]=[n+1]【我得出这样的结论】
[n+1]÷[b+1]=[a+1]
[n+1]÷[a+1]=[b+1]
判断以及解题方法，应该是可行的。

昨夜写过一系列数据：a，b各为
1与2，1与3，1与4，1与5，1与6，1与7，1与8，1与9，1与10，，，，，，，
2与3，2与4，2与5，2与6，2与7，2与8，2与9，2与10，2与11，，，，，，
3与4，3与5，3与6，3与7，3与8，3与9，3与10，3与11，3与12，，，，，
4与5，4与6，，，，
5与6
，
，
所有情况下，a+ab+b=n，a+ab+b=n+1
都可以是
[a+1]×[b+1]=[n+1]
[n+1]÷[b+1]=[a+1]
[n+1]÷[a+1]=[b+1]

先求出[n+1]÷[a+1]=[b+1]

然后可知
[n+1]-1=n
[a+1]-1=a
[b+1]-1=b

验算：a+ab+b=53【a+b，有多个值】
a+ab+b=53，53+1=54
54÷2=27【1+1×26+26=53】【1+26=27】
54÷3=18【2+2×17+17=53】【2+17=19】
54÷6=9【5+5×8+8=53】【5+8=13】

解题的契机是：
[a+1]×[b+1]=[n+1]
[n+1]-1=n
[a+1]-1=a
[b+1]-1=b

方法简单，并可以求出多解。

农民王旭龙

n[n+1][2n+1]÷6【别人写的】
只适用自然数列从1至n的若干个数的段落，可以求出自然数段各数2次幂值，1²+2²+3²+，，，，，n²的和。

依据上面的模式，我用5分钟时间，写出：求2²+4²+6²+8²+，，，，，，，+n[偶数]²。偶数数段各数2次幂值之和的求和公式：
n[n+2][2n+2]÷12
2²+4²=20
n=4
n[n+2][2n+2]÷12
4[4+2][2×4+2]÷12
24×10÷12=
240÷12=
20

2²+4²+6²=56
n=6
n[n+2][2n+2]÷12
6[6+2][2×6+2]÷12
48×14÷12=
672÷12=
56

偶数=整数×2


2²+4²+6²+8²=120
n=8
n[n+2][2n+2]÷12
8[8+2][2×8+2]÷12
80×18÷12=
1440÷12=
120


n[n+1][2n+1]÷6  【求1开始的整数数段各数2次幂值之和】别人写的
n[n+2][2n+2]÷12【求2开始的偶数数段各数2次幂值之和】我写的

依据别人的：n[n+1][2n+1]÷6  
我写出了偶数数段各数的2次幂值之和的求和公式：n[n+2][2n+2]÷12
之后就着手写奇数数段各数的2次幂值之和的求和公式。
开始写出的因式，符合1²+3²，放到1²+3²+5²就不行了。
符合1²+3²+5²的，放到1²+3²又不行了。
没找到问题的关键，才会这样东不成西不就。
于是我想，奇数数列是去掉偶数的数列，那么反映在【奇数数段各数的2次幂值之和】上的关键，是要在整数数列的2次幂值和的基础上，减去偶数2次幂值。
于是在早上上班前，我在n[n+1][2n+1]÷6中的【六倍值】n[n+1][2n+1]基础上，增加一个减项：-[n-1]
n[n+1]【[2n+1]-[n-1]】÷6
代入验算时，1²+3²行，1²+3²+5²也行。应该是对了。
慌忙上班去，等偷懒时再继续验算。

在偷懒验算的过程中，又发现一个奇妙现象。
n[n+1]【[2n+1]-[n-1]】÷6
n=3时，
3×[3+1]×【[2×3+1]-[3-1]】÷6
3×4×【7-2】÷6
3×4×5÷6
60÷6=10
1²+3²=10

n=5时
1²+3²+5²=1+25=35
5×6×7÷6
210÷6=35

n=7时
1²+3²+5²+7²=35+49=84
7×8×9÷6
504÷6=84

奇妙之处：
3×4×5÷6
5×6×7÷6
7×8×9÷6
于是公式可以写成：n[n+1][n+2]÷6
因为[2n+1]-[n-1]=n+2

这样
在别人的n[n+1][2n+1]÷6  【求1开始的整数数段各数2次幂值之和】
的开导下，我写出了：
n[n+2][2n+2]÷12【求2开始的偶数数段各数2次幂值之和】
n[n+1][n+2]÷6【求1开始的奇数数段各数2次幂值之和】

整数，n[n+1][2n+1]÷6
偶数，n[n+2][2n+2]÷12
奇数，n[n+1][n+2]÷6
三种数段各数的2次幂值之和的求和公式就齐全了。

农民王旭龙

下班路上想起：a+b，a²+b²，a³+b³，之间的三者关系，已经有了一种
m÷n+a×b=a²+b²
即：[a³+b³]÷[a+b]+a×b=a²+b²
还可怎么写。

于是晚饭后开始思考，写出：
[a³+b³] -【a²×[a-1]+b²×[b-1]】=a²+b²
验算：今天是农历8月初2。设a=8，b=2。
8²=64，8³=512，2²=4，2³=8，8³+2³=520，8²+2²=68
[a³+b³] -【a²×[a-1]+b²×[b-1]】=a²+b²
[8³+2³] -【8²×[8-1]+2²×[2-1]】=8²+2²
[512+8] -【64×7+4×1】=64+4
520-【448+4】=64+4
520-452=64+4
68=68

[a³+b³]÷2[a+b]-a×b=a+b
验算，同样设a=8，b=2。

[a³+b³]÷2[a+b]-a×b=a+b
[8³+2³]÷2[8+2]-8×2=8+2
[512+8]÷20-16=8+2
520÷20-16=8+2
26-16=8+2
10=10

[a³+b³]÷[a+b]+a×b-【a×[a-1]+b×[b-1]】=a+b
[8³+2³]÷[8+2]+8×2-【8×[8-1]+2×[2-1]】=8+2
520÷10+16-【56+2】=8+2
52+16-58=8+2
68-58=8+2
10=10

[a³+b³] -【a²×[a-1]+b²×[b-1]】-【a×[a-1]+b×[b-1]】=a+b
[8³+2³] -【8²×[8-1]+2²×[2-1]】-【8×[8-1]+2×[2-1]】=8+2
[512+8] -【64×7+4×1】-【56+2】=8+2
520-452-58=8+2
10=10


【[a²+b²]-a×b】×[a+b]=a³+b³
【[8²+2²]-8×2】×[8+2]=8³+2³
【[64+4]-16】×[8+2]=8³+2³
【68-16】×[8+2]=8³+2³
52×10=512+8
520=520

[a+b]×【[a²+b²]-a×b】=a³+b³
[8+2]×【[8²+2²]-8×2】=8³+2³
[8+2]×【[64+4]-16】=8³+2³
10×52=512+8
520=520

a+b，a²+b²，a³+b³，之间的三者关系：
[a³+b³]÷2[a+b]-a×b=a+b
[a³+b³]÷[a+b]+a×b-【a×[a-1]+b×[b-1]】=a+b
[a³+b³] -【a²×[a-1]+b²×[b-1]】-【a×[a-1]+b×[b-1]】=a+b

[a³+b³]÷[a+b]+a×b=a²+b²
[a³+b³] -【a²×[a-1]+b²×[b-1]】=a²+b²

【[a²+b²]-a×b】×[a+b]=a³+b³
[a+b]×【[a²+b²]-a×b】=a³+b³

农民王旭龙

今天又写出了一个公式：
a>b
a³-b³=
a[a²-b]+b[a-b²]

今天农历是9月17。
以a=17，b=9，代入验算
a[a²-b]+b[a-b²]
17×[17²-9]+9×[17-9²]
17×[289-9]+9×[17-81]
17×280+9×[-64]
4760+[-576]
4760-576
4184

17³-9³=4913-729=4184

再验算：
a=9，b=1
9³-1³=729-1=728

a[a²-b]+b[a-b²]
9[9²-1]+1[9-1²]
=9×[81-1]+1×[9-1]
=9×80+1×8
=720+8
=728

10³-2³=1000-8=992
a[a²-b]+b[a-b²]
10×[10²-2]+2×[10-2²]=
10×98+2×6=
980+12=992


2³-1³=8-1=7
a[a²-b]+b[a-b²]
2×[2²-1]+1×[2-1²]=
2×3+1×1=
6+1=7

7³-6³=343-216=127
a[a²-b]+b[a-b²]
7×[7²-6]+6×[7-6²]
=7×43+6×[-29]
=301+[-174]
=301-174
=127

农民王旭龙

弄来弄去，弄出一个代数式：
a×b=【a³-b³-[a-b]³]】÷3[a-b]
【a³-b³-[a-b]³]】÷3[a-b]=a×b

验算
【15³-7³-[15-7]³】÷3[15-7]=15×7
【3375-343-512】÷24=15×7
2520÷24=15×7
105=105

【15³-11³-[15-1]³】÷3[15-11]=15×11
【3375-1331-64】÷3×4=15×11
1980÷12=15×14
165=165

农民王旭龙

计算
√[40×41×42×43+1]

√[40×41×42×43+1]
=40×41+40+41=1721
40×41=1640
1640+81=1721

1721×1721-1=2961841-1=2961840=40×41×42×43

早上匆忙上班去，中午就：
√【n×[n+1]×[n+2]×[n+3]+1]】=n×[n+1]+n+[n+1]这个关系式进行了代入验算
√【1×2×3×4+1]】=1×2+1+2
√【24+1]】=2+1+2
√25=5

√【2×3×4×5+1]】=2×3+2+3
√【120+1]】=6+2+3
√121=11

√【3×4×5×6+1]】=3×4+3+4
√【360+1]】=12+3+4
√361=19

√【4×5×6×7+1]】=4×5+4+5
√【840+1]】=20+4+5
√841=29


√【10×11×12×13+1]】=10×11+10+11
√【17160+1]】=110+10+11
√17161=131

√【98×99×100×101+1]】=98×99+98+99
√【97990200+1]】=98×99+98+99
√97990201=9702+98+99
√97990201=9899



√【n×[n+1]×[n+2]×[n+3]+1]】=n×[n+1]+n+[n+1]
这个关系式成立。

连续四个自然数的乘积+1之平方边值=前两个数的乘积+前两个数之和。

农民王旭龙

今天又有新发现

计算：
√[1+98×99×100×101]
√[98×99×100×101+1]【我变换了一下】

我计算的结果是9899
9899×9899=97990201

√[98×99×100×101+1]=√[97990200+1]=√97990201=9899
我发现的算法：
9899=98×100+99

√[连续四数的乘积+1]=第一数×第三数+第二数

√[第1×第2×第3×第4+1]=第1×第3+第2
√n×[n+1]×[n+2]×[n+3]+1=n×[n+2]+[n+1]
例题：
√[1×2×3×4+1]=√25=1×3+2=5
√[6×7×8×9+1]=√3024+1=√3025=6×8+7=55
55×55=3025
√[15×16×17×18+1]=√73440+1=√73441=15×17+16=271
271×271=73441

老师的方法是：
第三数×第三数-第三数-1
√1+98×99×100×101=√100×100-100-1]=9899

哈哈，我想出不同的方法来。
第1数×第3数+第2数
√98×99×100×101+1=√98×100+99=9899【我的短一项】
√98×99×100×101+1=√100×100-100-1=9899【老师的多一项】

老师的，我可以修饰一下，也成三项：【简直目无师长】
√98×99×100×101+1=√100×100-101=9899【第三数×第三数-第四数】
写成公式：[n+2]²-[n+3]
数学游戏，好好玩，好有趣。

农民王旭龙

所有立方体，都是六面体，那么>1的立方数在什么情况下，可以被6整除？
X>1
[X³-X]÷6=正整数
如
[2×2×2-2]÷6=8-2=6÷6=1
[3×3×3-3]÷6=27-3=24÷6=4
[4×4×4-4]÷6=64-4=60÷6=10
[5×5×5-5]÷6=125-5=120÷6=20
[6×6×6-6]÷6=216-6=210÷6=35
[7×7×7-7]÷6=343-7=336÷6=56
[8×8×8-8]÷6=512-8=504÷6=84
[9×9×9-9]÷6=729-9=720÷6=120
[10×10×10-10]÷6=1000-10=990÷6=165
，，，，，，，，，，

农民王旭龙

X²+2828²=5353²
X=4545
4545×4545+2828×2828=5353×5353
20657025+7997584=28654609
用以下方法:
53×53-28×28可以得到45×45
2809-784=2025=45×45

28×28+45×45=53×53
784+2025=2809

2828=28×101
4545=45×101
5353=53×101

由
2828=28×101
4545=45×101
5353=53×101
可知
[28×2]²+[45×2]²=[53×2]²
[28×3]²+[45×3]²=[53×3]²
[28×4]²+[45×4]²=[53×4]²
[28×5]²+[45×5]²=[53×5]²
，，，，，，
[28×201]²+[45×201]²=[53×201]²
，，，，，，
[28×2001]²+[45×2001]²=[53×2001]²
，，，，，，
a²+b²=c²
则：
na²+nb²=nc²

农民王旭龙

我喜欢一边干活，一边想问题。给电梯间打消毒药水，手里有笔，可以写手心。
求[a²+b²]-[a+b]的差，用减法计算。如今天是农历10月29日，就设a=10, b=29。
[10×10+29×29]-[10+29]=[100+841]-39=941-39=902

我想出另一种计算法，加法.
[a²+b²]-[a+b]=a[a-1]+b[b-1]
[10²+29²]-[10+29]=10×[10-1]+29×[29-1]
[100+841]-[10+29]=10×9+29×28
941-39=90+812
902=902

[a²+b²]-[a+b]=a[a-1]+b[b-1]=[a²-a]+[b²-b]
[10²+29²]-[10+29]
=[10²-10]+[29²-29]
=[100-10]+[841-29]
=90+812=902

农民王旭龙

求Y³-Y的公式
Y³-Y=Y²×[Y-1]+Y×[Y-1]

Y=27
27³-27=19683-27=19656
27²×[27-1]+27×[27-1]=27×27×26+27×26=18954+702=19656

农民王旭龙

昨天中午，我在纸上涂涂抹抹写了：
[a-b]【a[a+b]+b×b】
[a-b][a²+ab+b²]

昨天是12月4日
设a=12，b=4
[a-b][a²+b²+ab]
12³-4³=[12-4][12²+4²+12×4]
=8×[144+16+48]
=8×176
=1664

12³-4³=1728-64=1664

以[a-b]两个自然数的差为基数，求两数的二次幂值之差，[a+b]就是倍数。
a²-b²=[a-b][a+b]【基数×倍数】
a³-b³=[a-b][a²+b²+ab]【基数×倍数】

[a-b]为基数，[a+b]、[a²+b²+ab]为倍数。

开始时，从5³-1³=125-1=124求证
[5-1]【5[5+1]+[1×1]】
=4×【5×6+1】
=4×31
=124

5³-2³=125-8=117
[5-2]【5[5+2]+[2×2]】
=3×【5×7+4】
=3×39
=117

5³-3³=125-27=98
[5-3]【5[5+3]+[3×3]】
=2×【5×8+9】
=2×49
=98

5³-4³=125-64=61
[5-4]【5[5+4]+[4×4]】
=1×【5×9+16】
=3×61
=61

[a-b]【a[a+b]+b×b】【纯自然数的表达式】
[a-b][a²+ab+b²]【收缩】
[a-b][a²+b²+ab]【经过整理的排序】
特点是：以[a-b]为基数，排前；以[a²+b²+ab]为倍数，排后。

[a-b]，两数之差，与两数的各次幂值之差的关系式的格式：
a²-b²=[a-b][a+b]【基数×倍数】
a³-b³=[a-b][a二+b二+ab]【基数×倍数】
a四-b四=[a-b][？                     ]【基数×倍数】
a五-b五=[a-b][？                           ]【基数×倍数】
a六-b六=[a-b][？                                ]【基数×倍数】
a七-b七=[a-b][？                                     ]【基数×倍数】
，，，，，，，

农民王旭龙

今天中午，我写出了：a四-b四=[a-b][？                     ]的方程式
开始没头苍蝇似的乱撞。
后来先算出a四-b四的差；
a=5，b=2。
5四=625，2四=16
625-16=609
a四-b四=[a-b]
5四-2四=[5-2]×[203]=609
203=7×29  
5四-2四=[5-2]×[7×29]=609
7=5+2  
5四-2四=[5-2]×【[5+2]×29] 】
29=25+4
5四-2四=[5-2]×【[5+2]×[25+4] 】
5四-2四=[5-2]×【[5+2]×[5²+2²] 】
5四-2四=【[5-2]×[5+2]】×[5²+2²]
这样一溜处理过来，一看不就是在
a²-b²=[a-b][a+b]的后面再乘上[5²+2²]吗。
a四-b四=[a-b][a+b]×[a²+b²]。

验算是少不了的。
5四-2四=[5-2][5+2]×[5²+2²]。
625-16=3×7×29=609
今天是12月，8日。
设a=12，b=8
12四-8四=[12-8][12+8]×[12²+8²]
20736-4096=4×20×208=16640

开始时设a=7，b=2，没找到头绪，半途换成a=5，b=2。
现在代入a=7，b=2验算一遍：
7四-2四=[7-2][7+2]×[7²+2²]
7四-2四=[7-2][7+2]×[7²+2²]
2401-16=5×9×53=2385


[a-b]，两数之差，与两数的各次幂值之差的关系式的格式：
a²-b²=[a-b][a+b]【基数×倍数】
a³-b³=[a-b][a二+b二+ab]【基数×倍数】
a四-b四=[a-b]【[a+b][a²+b²]】【基数×倍数】
a五-b五=[a-b][？                           ]【基数×倍数】
a六-b六=[a-b][？                                ]【基数×倍数】
a七-b七=[a-b][？                                     ]【基数×倍数】
，，，，，，，

农民王旭龙

中午饭后，有空写出：
a五-b五=[a-b]【[a+b][a³+b³]+[ab]²】
a=5，b=2代入
5五-2五=[5-2]【[5+2][5³+2³]+[5×2]²】
3125-32=3×【[7][125+8]+[10]²】
3093=3×【[7][133]+[10]²】
3093=3×【931+100】
3093=3×1031
3093=3093


今天是12月9日
设a=12，b=9
12五-9五=248832-59049=189783
代入验算
a五-b五=[a-b]【[a+b][a³+b³]+[ab]²】
12五-9五=[12-9]【[12+9][12³+9³]+[12×9]²】
12五-9五=3×【[21][1728+729]+108²】
12五-9五=3×【21×2457+11664】
12五-9五=3×【51597+11664】
12五-9五=3×63261
248832-59049=189783

计算中间，把1728输错成1278，结果不对，吓了一跳。从头来，发现是1728错成1278。


[a-b]，两数之差，与两数的各次幂值之差的关系式的格式：
a二-b二=[a-b]【a+b】【基数×倍数】【两数差×两数和】
a三-b三=[a-b]【a²+b²+ab】【基数×倍数】两数差×[两数的2次幂值与两数乘积之和]
a四-b四=[a-b]【[a+b][a²+b²]】【基数×倍数】两数差×两数和×两数2次幂值之和
a五-b五=[a-b]【[a+b][a³+b³]+[ab]²】【基数×倍数】
a六-b六=[a-b]【？                                        】【基数×倍数】
a七-b七=[a-b]【？                                                】【基数×倍数】

农民王旭龙

【豌豆讲奥数】题
a²=97×98×99×100+1

这是一个具有普遍性规律的问题。
任意一组连续四数的乘积+1的和值，是第一个数与第四个数乘积+1的二次幂值。
如9701²=[97×100+1]²
[97×100+1]²=97×98×99×100+1
97×98×99×100+1=[97×100+1]二
n[n+1][n+2][n+3]+1=【[n][n+3]+1】×【[n][n+3]+1】
n[n+1][n+2][n+3]+1=【[n][n+3]+1】²

验算
1×2×3×4+1=[1×4+1]²
25=[4+1]²=5²=5×5

2×3×4×5+1=[2×5+1]²
121=[10+1]²=11²=11×11

3×4×5×6+1=[3×6+1]=19²
361=[18+1]²=19×19

这是数量变化关系的一种特定模式
n[n+1][n+2][n+3]+1=【[n][n+3]+1】²

又想到，不但
n[n+1][n+2][n+3]+1=【[n][n+3]+1】×【[n][n+3]+1】
n[n+1][n+2][n+3]+1=【[n][n+3]+1】²

连续四个自然数的中间两数的乘积-1的二次幂值=四数乘积+1
n[n+1][n+2][n+3]+1=【[n+1][n+2]-1】×【[n+1][n+2]-1】
n[n+1][n+2][n+3]+1=【[n+1][n+2]-1】²

[98×99-1]²=97×98×99×100+1
[9702-1]²=97×98×99×100+1
9701²=94109401

[中间两数乘积-1]²=连续四数乘积+1
[两头两数乘积+1]²=连续四数乘积+1

农民王旭龙

a六-b六=[a-b]×[a+b]×【[a四+b四]+[a×b]二】

5六-2六=15625-64=15561
5六-2六=[5-2]×[5+2]×【5四+2四+[5×2]二】
5六-2六=3×7×【625+16+100】
5六-2六=3×7×【641+100】
5六-2六=3×7×741
5六-2六=3×5187
15625-64=15561

验算：设a=9，b=3
9六-3六=531441-729=530712
9六-3六=[9-3]×[9+3]×【9四+3四+[9×3]二】
9六-3六=6×12×【6642+729】
9六-3六=6×12×7371
9六-3六=6×88452
531441-729=530712


[a-b]，两数之差，与两数的各次幂值之差的关系式的格式：
a二-b二=[a-b]【a+b】【基数×倍数】【两数差×两数和】
a三-b三=[a-b]【a二+b二+ab】【基数×倍数】两数差×[两数的2次幂值与两数乘积之和]
a四-b四=[a-b]【[a+b][a二+b二]】【基数×倍数】两数差×两数和×两数2次幂值之和
a五-b五=[a-b]【[a+b][a三+b三+[ab]二]】【基数×倍数】
a六-b六=[a-b]【[a+b][a四+b四+[ab]二]】【基数×倍数】
a七-b七=[a-b]【？                                                】【基数×倍数】

农民王旭龙

美国数学竞赛题：已知a、b都是正整数，a²-b²=1992，求a和b。【数学达人郎老师】推荐的题。
1992÷1=1992【a=996.5，b=995.5】
1992÷2=996  【a=499，   b=497】
1992÷4=498  【a=251，   b=247】
1992÷6=332  【a=169，   b=163】
1992÷8=249  【a=128.5，b=120.5】
1992÷12=166【a=89，     b=77】
1992÷24=83  【a=53.5，  b=29.5】


再补充
1992÷1=1992【a=996.5，b=995.5】
996.5²-995.5²=993012.25-991020.25=1992


根据a²-b²=m，求a值和b值的方法：m÷n=N，n与N都是正整数时。
[N+n]÷2=a
[N -n]÷2=b

一步步深入探索，曲径通幽，终于看到【规律】的曙光。
a²-b²=m
[m] ÷n=N       [N+n]÷2=a  [N-n]÷2=b 【n与N都是正整数】
1992÷1=1992【a=996.5，  b=995.5】
1992÷2=996  【a=499，     b=497】
1992÷4=498  【a=251，     b=247】
1992÷6=332  【a=169，     b=163】
1992÷8=249  【a=128.5，  b=120.5】
1992÷12=166【a=89，       b=77】
1992÷24=83  【a=53.5，    b=29.5】

农民王旭龙

吃晚饭时，在想：虽然是小数，但商也是能够整除的有理数时，怎么样？
1992÷16=124.5
[124.5+16]÷2=140.5÷2=70.25
[124.5 -16]÷2=108.5÷2=54.25
70.25²-54.25²=4935.0625-2943.0625=1992

1992÷20=99.6
[99.6+20]÷2=119.6÷2=59.8
[99.6 -20]÷2=79.6÷2=39.8
59.8²-39.8²=3576.04-1584.04=1992

1992÷32=62.25
[62.25+32]÷2=94.25÷2=47.125
[62.25- 32]÷2=30.25÷2=15.125
47.125²-15.125²=2220.765625-228.765625=1992


1992÷40=49.8
[49.8+40]÷2=89.8÷2=44.9
[49.8- 40]÷2=9.8÷2=4.9
44.9²-4.9²=2016.01-24.01=1992

1992÷48=41.5
[48+41.5]÷2=89.5÷2=44.75
[48- 41.5]÷2=6.5÷2=3.25
44.75²-3.25²=2002.5625-10.5625=1992

1992÷50=39.84
[50+39.84]÷2=89.84÷2=44.92
[50- 39.84]÷2=10.16÷2=5.08
44.92²-5.08²=2017.8064-25.8064=1992

1992÷10=199.2
[199.2+10]÷2=209.2÷2=104.6
[199.2- 10]÷2=189.2÷2=94.6
104.6²-94.6²=10941.16-8949.16=1992

1992÷30=66.4
[66.4+30]÷2=96.4÷2=48.2
[66.4- 30]÷2=36.4÷2=18.2
48.2²-18.2²=2323.24-331.24=1992

1992÷3=664
1992÷5=398.4
1992÷15=132.8
1992÷16=124.5
1992÷25=79.68
1992÷60=33.2
1992÷64=31.125
1992÷75=26.56
1992÷80=24.9
1992÷96=20.75
1992÷100=19.92
1992÷120=16.6
1992÷125=15.936
1992÷128=15.5625
1992÷150=13.28
1992÷160=12.45
1992÷192=10.375
1992÷200=9.96
1992÷240=8.3
1992÷250=7.968
1992÷300=6.64
1992÷320=6.225
1992÷375=5.312
1992÷384=5.1875
1992÷400=4.98
1992÷415=4.8
1992÷480=4.15
1992÷500=3.984
1992÷600=3.32
1992÷625=3.1872
1992÷640=3.1125
1992÷750=2.656
1992÷800=2.49
1992÷830=2.4
1992÷960=2.075
1992÷1000=1.992
1992÷1245=1.6
1992÷1328=1.5
1992÷1660=1.2

只验算这后面的一个：
[1660+1.2]÷2=1661.2÷2=830.6
[1660- 1.2]÷2=1658.8÷2=829.4
830.6²-829.4²=689896.36-687904.36=1992

农民王旭龙

早几天写不出，今天中午终于写出了
a七-b七=[a-b]【？      】
【基数×倍数】的因式

[a-b]【[a六+b六]+a四×b四+a×b[a+b][a-b]+[ab]二】
[a-b]是基数。
而倍数是由4个单元和成：
【1】[a六+b六]
【2】a四×b四
【3】a×b[a+b][a-b]
【4】[ab]二

验算：设a=5，b=2
5七-2七=5×5×5×5×5×5×5-2×2×2×2×2×2×2=78125-128=77997
77997÷3=25999
[5-2】×25999

代入a=5，b=2
[a-b]【[a六+b六]+a四×b四+a×b[a+b][a-b]+[ab]二】
[5-2]【[5六+2六]+5四×2四+5×2[5+2][5-2]+[5×2]二】
3×【[15625+64]+625×16+10×7×3+10二】
3×【15689+10000+210+100】
3×【25689+310】
3×25999
=77997


[a-b]，两数之差，与两数的各次幂值之差的关系式的格式：
a二-b二=[a-b]【a+b】【基数×倍数】【两数差×两数和】
a三-b三=[a-b]【a二+b二+ab】【基数×倍数】两数差×[两数的2次幂值与两数乘积之和]
a四-b四=[a-b]【[a+b][a二+b二]】【基数×倍数】两数差×两数和×两数2次幂值之和
a五-b五=[a-b]【[a+b][a三+b三+[ab]二]】【基数×倍数】
a六-b六=[a-b]【[a+b][a四+b四+[ab]二]】【基数×倍数】
a七-b七=[a-b]【[a六+b六]+a四×b四+a×b[a+b][a-b]+[ab]二】【基数×倍数】
前面定下任务，今天完成了。
【可能还不对】

农民王旭龙

1956高考：一道非常简单的送分题，还是有很多考生不会，你会吗？【石头爱思考DL】
a²-b²=9，ab=20。则a，b的值？

9÷2+0.5=5【a】
9÷2- 0.5=4【b】
9÷9=1【本题的求边法】
[9+1]÷2=5【a】
[9- 1]÷2=4【b】
a=5
b=4

20=20×1=10×2=5×4
5²-4²=25-16=9【是】
20²-1²=400-1=399【不是】
10²-2²=100-4=96【不是】

【玩】
9÷1=9
9÷1.2=7.5
9÷1.25=7.2
9÷1.5=6
9÷1.8=5
9÷2=4.5
9÷2.4=3.75
9÷2.5=3.6
9÷3=3
9÷3.2=2.8125
9÷3.6=2.5
9÷4=2.25
9÷4.8=1.875
9÷6.4=1.40625
，，，，，，

a²-b²=m
m÷X=Y
[X+Y]÷2=a
[X- Y]÷2=b

9÷9=1【本题的求边法】
[9+1]÷2=5【a】
[9- 1]÷2=4【b】


9÷6.4=1.40625
[6.4+1.40625]÷2=7.80625÷2=3.903125【a】
[6.4- 1.40625]÷2=4.99375÷2=2.496875【b】
3.903125²=15.234384765625
2.496875²=  6.234384765625
15.234384765625-6.234384765625=9

农民王旭龙

昨天晚上的问题
[a+b]三=a三+b三+？

今天中午解决了:
[a+b]三=a三+b三+3ab[a+b]

[a+b]三-[a三+b三]=3ab[a+b]

把a+b，用m代替
m三-[a三+b三]=3abm

a三+b三+3ab[a+b]=[a+b]三
a三+b三+3abm=m三

3abm=abm+abm+abm，是多出的三个向面部分的体积。

[1+1]三=1三+1三+1×1×[1+1]+1×1×[1+1]+1×1×[1+1]
8=1+1+2+2+2【五个部分组成】
一个2×2×2=8的立方体，把对角关系的两个小方块去掉后，剩余部分就是三块1×1×2的长方块。

验算：
[a+b]三=a三+b三+3ab[a+b]
[9+1]三=9三+1三+3×9×1×[9+1]
1000=729+1+270

[8+2]三=8三+2三+3×8×2×[8+2]
1000=512+8+480

[7+3]三=7三+3三+3×7×3×[7+3]
1000=343+27+630

[6+4]三=6三+4三+3×6×4×[6+4]
1000=216+64+720

[5+5]三=5三+5三+3×5×5×[5+5]
1000=125+125+750


[1.9+0.1]三=1.9三+0.1三+3×1.9×0.1×[1.9+0.1]
8=6.859+0.001+1.14

m三-a三-b三=3abm
[a+b]三-a三-b三=3ab[a+b]

两数和的三次幂值与两数三次幂值和的差=[两数相乘之积×两数和]的3倍

新的一年刚开始，我又有了新的公式。
不管世界上是否有人已经写出过，我的公式是我自己推敲出来的。

从发现
a+b=2
a三+b三=8  这两个前提条件不匹配。

我觉得应该给出一个理由。